阿克曼与双阿克曼模型正逆运动学以及状态空间方程-ANDONG的博客

前言

阿克曼转向是一种现代汽车的转向方式，主要体现在汽车转弯时，内外轮转的角度是不一样的，内侧轮胎转弯半径小于外侧轮胎，这将有效的减少轮胎的摩擦，增加运动平稳性以及轮胎的寿命。而双阿克曼系统则是前后轮都是阿克曼转向的一种系统，可以让车辆的转弯半径更小，行动更加灵活。

正向运动学

这里的正向运动学是基于输入的V(线速度)和W(角速度)来计算车辆的转弯半径R以及两个前轮的转向角度δi和δo

阿克曼

δi:右前轮转向角度
δo:左前轮转向角度
δ:单车模型中输入的角度
R:转弯半径
L:车辆轴距
L_w:车辆轮宽

求解转弯半径R和前轮转角

已知条件

V：输入的线速度
W：输入的角速度
δ：由W对时间积分可得
L：车辆轴距
L_w：车辆轮宽

求解过程

利用已知条件和简单的三角几何知识，我们可以得出

R = \frac{L}{\tan(δ)}

对于左右前轮转角，我们可以计算得出

tan(δ_o) =\frac{L}{R+\frac{L_w}2}

tan(δ_i) =\frac{L}{R-\frac{L_w}2}

求解完毕

双阿克曼

对于双阿克曼而言，所有的部分与单阿克曼一样，唯一的区别的地方在于，双阿克曼因为后轮也转动的缘故，所以转弯半径将会缩短，如果前后阿克曼的角度相同，那么就会使得转弯半径为之前的一半

R = \frac{\frac{1}{2}L}{\tan(δ)}=\frac{L}{2\tan(δ)}

后轮转向角度的计算方法与前轮保持一致

逆向运动学

对于阿克曼车辆，假设我们希望从当前状态 (x0,y0,θ0) 移动到目标状态 (xg,yg,θg)，逆运动学可以帮助计算需要的速度 V 和转向角 δ。

另外，对于car-like机器人，使用机械结构实现阿克曼转向的情况，轮子的转向角度情况，双阿克曼和单阿克曼是一样的角度

阿克曼

转弯半径

转弯半径通过预期路径来进行确定

转向角的计算

δ_i = \arctan\left(\frac{L}{R - \frac{W}{2}}\right)

δ_o = \arctan\left(\frac{L}{R + \frac{W}{2}}\right)

对于单车模型而言

\tan(δ) = \frac{L}{R}

双阿克曼

对于前后阿克曼模型来，也就是夹角进行改变，因为相同δ下，前后阿克曼的转弯半径会更小，所以区别也就是

\tan(δ) = \frac{\frac{1}{2}L}{R} = \frac{L}{2R}

状态空间方程的建立

运动学模型描述

位置变化率

\dot{x} = v \cos(\theta)

\dot{y} = v \sin(\theta)

这里，xdt 和 ydt 分别是位置 x 和 y 关于时间的导数，表示机器人在x和y方向上的速度分量。

朝向变化率

\dot{θ} = \frac{v}{L} \tan(\delta)

这里的θ指的是车辆的朝向角，而δ指的是车辆的前轮与车辆朝向之间的夹角，这里的推到过程如下所示

\dot{θ} = \frac{v}{R}=\frac{v}{\frac{L}{\tan(δ)}}=\frac{v}{L} \tan(\delta)

对于双阿克曼来说，这个地方的变化为

\dot{θ} = \frac{v}{R}=\frac{v}{\frac{L}{2\tan(δ)}}=\frac{2v}{L} \tan(\delta)

状态空间方程的建立

定义各种变量

\text{状态向量 } \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ \theta \end{bmatrix}

\text{控制输入向量 } \mathbf{u} = \begin{bmatrix} v \\ \delta \end{bmatrix}

非线性状态空间方程

\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \dot x \\ \dot y \\ \dot θ\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v\cos(\theta) \\ v \sin(\theta) \\ \frac{v}{L} \tan(\delta) \end{bmatrix}

xdt 由当前的速度和朝向角决定，代表在x方向上的速度分量。
ydt 同样由速度和朝向角决定，代表在y方向上的速度分量。
θdt 由速度、车辆轴距 L，以及前轮转向角 δ 共同决定，描述了车辆的旋转速率。

对于双阿克曼来说，这个地方的变化同样也就只有一个地方

\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \dot x \\ \dot y \\ \dot θ\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v\cos(\theta) \\ v \sin(\theta) \\ \frac{2v}{L} \tan(\delta) \end{bmatrix}